미분 방정식

선형 미분 방정식

선형 미분 방정식은 방정식 내의 연산이 미분 연산을 포함해 모두 선형적인 미분 방정식을 말한다. 벡터 공간에서 말했다시피, 선형 연산자들은 그 자체로 또다른 벡터공간을 형성하고, 당연히 선행 조건에 따라 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다. 즉, 이러한 미분 방정식의 연산은 모두 1개의 선형 연산으로 표현할 수 있다.

어느 한 미분 연산 \(_{x}\) 에 대해,

\[\begin{split}D_x := \frac{\partial }{\partial x} \\ D_x^n := \frac{\partial^n }{\partial x^n}\end{split}\]

\[\alpha_ny^{(n)} + \alpha_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + \alpha_2y^{(2)} + \alpha_1y^{(1)} + \alpha_0y = 0\]

에 대해,

\[\begin{split}(\alpha_nD_x^{(n)} + \alpha_{n-1}D_x^{n-1} + \dots + \alpha_2D_x^{2} + \alpha_1D_x + \alpha_0)y = 0\\ (\sum_{k=0}^{n}\alpha_kD_x^{(k)} )y = 0\end{split}\]

\[Ay = 0\]

계수가 굳이 상수일 필요는 없다. 좀 더 일반화 시키면,

\[(\sum_{k=0}^{n}\alpha_k (x)D_x^{(k)} )y = \lambda y\]

미분 방정식의 해 기저

-> Solution space의 차원