행렬식

행렬식에 대해 배울 때, 공대와 같이 수학적 엄밀함이 필요하지 않은 경우 2차원의 행렬식을 정의하고, 이를 \(n\) 차원으로 확장해 재귀적으로 행렬식을 정의한다. 그러나 실제 수학적 엄밀함을 더하면 \(k-form\) 을 이용해 정의할 수 있다.

정의

엄밀한 정의

\(\text{det}(A)=\text{det}(A^T)\)
\(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\)

Definition (k-선형 형식 k-linear form))

체 \(\mathbb{F}\) 위에 정의된 벡터 공간 집합 \(\\{ V_\alpha \\}_{\alpha =1}^k\) 에 대해, 함수 \(f: V_1 \times V_2 \times \dots \times V_k \rightarrow \mathbb{F}\) 가 모든 좌표 각각에 대해 선형일 때, 함수 \(f\) 를 k-선형 형식 (k-linear form)이라 부른다.

만약, \(V_\alpha =V, \forall \alpha\) 라면, \(f\) 를 \(V\) 위에 정의된 k- 선형 형식이라 부르고, \(k =2\) 인 경우

inverse of the matrix with determinant Cramer’s rule

elementray Row operation and determinannt Upper triangular matrix determinant = product of diagonal entry Two rows are same (identity) det = 0

A invertible =det(a) != 0

재귀적 정의

2차원 행렬의 행렬식

\(n\) 차원 행렬의 행렬식

성질

\(\text{det}(A)=\text{det}(A^T)\)
\(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)\)